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<!DOCTYPE html>

<title>Bi-elliptischer Transfer</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Bi-elliptischer Transfer</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">In der <a href="Raumfahrt" title="Raumfahrt">Raumfahrt</a> ist der bi-elliptische Transfer ein möglicher Übergang für ein <a href="Raumfahrzeug" class="mw-redirect" title="Raumfahrzeug">Raumfahrzeug</a> zwischen zwei <a href="Umlaufbahn" title="Umlaufbahn">Bahnen</a> um den gleichen Zentralkörper (zum Beispiel die Erde oder die Sonne), der erstmals von <a href="Ari_Abramowitsch_Sternfeld" title="Ari Abramowitsch Sternfeld">Ari Sternfeld</a> beschrieben wurde.

Anstatt wie beim <a href="Hohmann-Transfer" title="Hohmann-Transfer">Hohmann-Transfer</a> direkt von der Ausgangs- zur Zielbahn überzugehen, erfolgt der Transfer über zwei Transfer-Ellipsen. Die erste geht „über das Ziel hinaus“, die zweite führt zur gewünschten Zielbahn. Das mag zunächst sinnlos erscheinen, doch wenn die Zielbahn erheblich höher als die Ausgangsbahn ist, ist der bi-elliptische Transfer energetisch günstiger.<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a> In diesem Artikel wird nur der Fall betrachtet, bei dem die Zielbahn einen größeren Abstand zum Zentralkörper als die Ausgangsbahn besitzt. Ebenfalls wird vereinfachend angenommen, dass Ausgangs- und Zielbahn kreisförmig und in der gleichen Ebene sind, dass die Geschwindigkeit sich augenblicklich ändert und dass keine <a href="Bahnst%C3%B6rung" title="Bahnstörung">Bahnstörungen</a> beispielsweise durch Drittkörper vorliegen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Berechnung">Berechnung</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Geschwindigkeit">Geschwindigkeit</h3></div>

Die fundamentale Gleichung zur Berechnung von koplanaren Übergängen (wie dem bi-elliptischen Transfer) ist die <a href="Vis-Viva-Gleichung" title="Vis-Viva-Gleichung">Vis-Viva-Gleichung</a>.<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a>

<msqrt>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d7af9c51526b4f22d56fb4513028a21d21cd62d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:18.665ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}}}" loading="lazy"></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy"> sind der aktuelle Abstand des Raumfahrzeugs vom Zentralkörper und die aktuelle Geschwindigkeit,</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ist die <a href="Gro%C3%9Fe_Halbachse" class="mw-redirect" title="Große Halbachse">große Halbachse</a> der Bahn,</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu =GM}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/183d080fad6c5e9292cd08bc28897f334189b75f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.769ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu =GM}" loading="lazy"> ist der <a href="Gravitationsparameter" class="mw-redirect" title="Gravitationsparameter">Gravitationsparameter</a> des Zentralkörpers (Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> multipliziert mit der <a href="Gravitationskonstante" title="Gravitationskonstante">Gravitationskonstanten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy">).</li></ul>

Für eine Kreisbahn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r=a)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r=a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc11e8bda38010f3d924ad1aaa8a3c662129443c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.186ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r=a)}" loading="lazy"> vereinfacht sich die Gleichung zu

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v={\sqrt {\frac {\mu }{r}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8453eed6974d38471e0683bedce2f46080fc6302.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:8.788ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle v={\sqrt {\frac {\mu }{r}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Abbildung rechts zeigt den Verlauf des bi-elliptischen Transfers. Das Raumfahrzeug befindet sich auf einer Kreisbahn (blau) mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea214f2b31fb3869344bb9311da41c5cc38a99e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.103ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{1}}" loading="lazy">. Die Geschwindigkeit ist konstant <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{1}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{1}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/284d671bc6fd9a962b270bda2ffbae0c0b90937d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:10.543ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle v_{1}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}}" loading="lazy">. Ziel ist es, die höhere Kreisbahn (grün) mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4cbe9b0b294fdd6fadbf9a7249813f016dcbc44f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.103ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{2}}" loading="lazy"> zu erreichen.

<ol><li>Eine augenblickliche Geschwindigkeitserhöhung bringt den Satelliten auf die erste Transfer-Ellipse (rot), deren große Halbachse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbf42ecda092975c9c69dae84e16182ba5fe2e07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{1}}" loading="lazy"> ist. Die erste Geschwindigkeitsänderung beträgt also

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

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</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}}}\right)}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ff1de3e5c867c189c5b94830fe181b920ee8445.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:31.753ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}}}\right)}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}}" loading="lazy"> Sie ist tangential in Flugrichtung anzulegen, da die Ausgangsbahn ein Kreis ist, kann das Manöver überall beginnen.</dd></dl></li>

<li>Wenn die <a href="Apoapsis" class="mw-redirect" title="Apoapsis">Apoapsis</a> erreicht ist, befindet sich das Raumfahrzeug im Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{b}=2a_{1}-r_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{b}=2a_{1}-r_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccef7564432cd84333a27c420997db8ef8d4c395.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.475ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r_{b}=2a_{1}-r_{1}}" loading="lazy"> vom Zentralkörper. Es erfolgt die zweite augenblickliche Geschwindigkeitserhöhung auf die zweite Transfer-Ellipse (orange), deren große Halbachse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{2}={\tfrac {r_{b}+r_{2}}{2}}}">

<msub>

</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{2}={\tfrac {r_{b}+r_{2}}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b919fc2863858e653a93808e5520a9423233e152.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:10.549ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle a_{2}={\tfrac {r_{b}+r_{2}}{2}}}" loading="lazy"> ist. Wieder ist die Geschwindigkeitsänderung tangential. Der Betrag ist

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{b}}}-{\frac {1}{a_{2}}}\right)}}-{\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{b}}}-{\frac {1}{a_{1}}}\right)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b8354445e6c088685f82152ee5f7764dde3107e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:42.69ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{b}}}-{\frac {1}{a_{2}}}\right)}}-{\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{b}}}-{\frac {1}{a_{1}}}\right)}}}" loading="lazy"></dd></dl></li>

<li>Wenn die <a href="Periapsis" class="mw-redirect" title="Periapsis">Periapsis</a> der zweiten Transfer-Ellipse erreicht ist, erfolgt die dritte Geschwindigkeitsänderung. Diesmal allerdings muss sie verkleinert werden, damit der Satellit auf der Kreisbahn bleibt

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta v_{3}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}-{\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{2}}}-{\frac {1}{a_{2}}}\right)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/073253821f9e47fe77d1415bd40e3398a0c37d35.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:31.753ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta v_{3}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}-{\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{2}}}-{\frac {1}{a_{2}}}\right)}}}" loading="lazy"></dd></dl></li></ol>

Insgesamt beträgt der Treibstoffbedarf (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e18b43e4225eeaafeeb25aefc4ee90bd86f004dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.063ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta v}" loading="lazy">)

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

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</mtr>

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</mrow>

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</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta v&=\Delta v_{1}+\Delta v_{2}+\Delta v_{3}\\&=\left({\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}}}\right)}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}\,\right)+\left({\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{b}}}-{\frac {1}{a_{2}}}\right)}}-{\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{b}}}-{\frac {1}{a_{1}}}\right)}}\,\right)+\left({\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}-{\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{2}}}-{\frac {1}{a_{2}}}\right)}}\,\right)\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/815a6b7502c14a656893349f97f4b8e1be499414.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:109.346ex; height:10.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta v&=\Delta v_{1}+\Delta v_{2}+\Delta v_{3}\\&=\left({\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}}}\right)}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}\,\right)+\left({\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{b}}}-{\frac {1}{a_{2}}}\right)}}-{\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{b}}}-{\frac {1}{a_{1}}}\right)}}\,\right)+\left({\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}-{\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{2}}}-{\frac {1}{a_{2}}}\right)}}\,\right)\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Ist der Radius der Zielbahn mehr als 15,58-mal größer als der Radius der Ausgangsbahn, ist jeder bi-elliptische Transfer vom Treibstoffbedarf her günstiger als ein Hohmann-Transfer, solange <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{b}>r_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{b}>r_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1079ebd6062e6dbfd48399080883e344269f0dc0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.188ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r_{b}>r_{2}}" loading="lazy"> ist. Unterhalb dieses Werts kann ein bi-elliptischer Transfer weniger <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e18b43e4225eeaafeeb25aefc4ee90bd86f004dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.063ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta v}" loading="lazy"> benötigen (siehe Abschnitt <a href="#Vergleich_mit_dem_Hohmann-Transfer">#Vergleich mit dem Hohmann-Transfer</a>).

Die Transferzeit lässt sich aus den halben <a href="Umlaufzeit" title="Umlaufzeit">Umlaufzeiten</a> der Transfer-Ellipsen berechnen. Die Umlaufzeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> berechnet sich für Ellipsen nach dem <a href="Drittes_Keplersches_Gesetz" class="mw-redirect" title="Drittes Keplersches Gesetz">dritten Keplerschen Gesetz</a><a href="#cite_note-:0-1">[1]</a>

<msqrt>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84a962a4e5da8183f6a38ef23d0a5a9452667148.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:12.673ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Transferzeit eines bi-elliptischen Übergangs lautet also

<msqrt>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa8206e075946eaac9b11e95066ffa97f2729bb5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:22.266ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Das ist erheblich länger als bei einem Hohmann-Transfer, was ein wichtiger Nachteil des bi-elliptischen Transfers ist (siehe Abschnitt <a href="#Vergleich_mit_dem_Hohmann-Transfer">#Vergleich mit dem Hohmann-Transfer</a>).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Grenzfall_Hohmann-Transfer">Grenzfall Hohmann-Transfer</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Hohmann-Transfer" title="Hohmann-Transfer">Hohmann-Transfer</a></div>

Für den Grenzfall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{b}=r_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{b}=r_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14b997d8777f21abf3c6b720d72faa19b80bfc47.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.188ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{b}=r_{2}}" loading="lazy"> geht der bi-elliptische Transfer in den Hohmann-Transfer über.<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Grenzfall_bi-parabolischer_Transfer">Grenzfall bi-parabolischer Transfer</h2></div>

Für den Grenzfall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{b}\rightarrow \infty }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{b}\rightarrow \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11a2f08e06f1f206a906d0cbacef99ac01d4cbc5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r_{b}\rightarrow \infty }" loading="lazy"> geht der bi-elliptische Transfer in den bi-parabolischen Transfer über.<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a>

Dieser Fall ist rein theoretisch, da der Satellit zuerst unendlich weit weg vom Zentralkörper gebracht wird. Erstens dauert das unendlich lang, zweitens kann man dann nicht mehr die Näherung eines <a href="Zweik%C3%B6rperproblem" title="Zweikörperproblem">Zweikörperproblems</a> anwenden. Trotzdem ist die Betrachtung in Hinsicht auf den Vergleich mit dem Hohmann-Transfer im nächsten Abschnitt interessant.

<dl><dt>Punkt 1</dt>

<dd>Der Satellit wird auf eine <a href="Fluchtgeschwindigkeit_(Raumfahrt)" title="Fluchtgeschwindigkeit (Raumfahrt)">Flucht-Parabel</a> (grün) gebracht.</dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \qquad \Delta v_{1}=\left({\sqrt {2}}-1\right){\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68a1750f187af4da6eade469c5c27ea3edfe615f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:26.742ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \qquad \Delta v_{1}=\left({\sqrt {2}}-1\right){\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}}" loading="lazy">

Im Unendlichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\infty )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\infty )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a868f2a67b4117ece3aa381278e8962fa33831c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.133ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\infty )}" loading="lazy"> sinkt seine Geschwindigkeit auf 0.

<dl><dt>Punkt 2</dt>

<dd>Nun reicht ein infinitesimal kleiner Schub aus, um den Satelliten auf eine neue Transfer-Parabel (orange) zu bringen.</dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \qquad \Delta v_{2}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8081a875a84bb26a7fe75d31dac85e11285f4ec4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.024ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \qquad \Delta v_{2}=0}" loading="lazy">

<dl><dt>Punkt 3</dt>

<dd>Am Scheitelpunkt der zweiten Parabel muss nun wieder auf die Ziel-Kreisbahn gebremst werden.</dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \qquad \Delta v_{3}=\left({\sqrt {2}}-1\right){\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d15af0ee04de0488a3b934b2dc160f4860e4b7f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:26.742ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \qquad \Delta v_{3}=\left({\sqrt {2}}-1\right){\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}}" loading="lazy">

Insgesamt beträgt der Treibstoffbedarf (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e18b43e4225eeaafeeb25aefc4ee90bd86f004dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.063ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta v}" loading="lazy">)

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \qquad \Delta v=\Delta v_{1}+\Delta v_{2}+\Delta v_{3}=\left({\sqrt {2}}-1\right)\left({\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}+{\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}\,\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/780b1f4bae944899d1114bbeced585588aae2e6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:58.732ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \qquad \Delta v=\Delta v_{1}+\Delta v_{2}+\Delta v_{3}=\left({\sqrt {2}}-1\right)\left({\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}+{\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}\,\right)}" loading="lazy">

Dieser Wert ist für alle Übergänge mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{2}>11{,}94\,r_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{2}>11{,}94\,r_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f808af65030c5694f5a659a3c5b06047dd27b172.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.988ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r_{2}>11{,}94\,r_{1}}" loading="lazy"> geringer als für einen Hohmann-Transfer. Der bi-parabolische Transfer ist der Grenzfall eines bi-elliptischen Transfers, für den am meisten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e18b43e4225eeaafeeb25aefc4ee90bd86f004dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.063ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta v}" loading="lazy"> gespart werden kann.<a href="#cite_note-:1-2">[2]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vergleich_mit_dem_Hohmann-Transfer">Vergleich mit dem Hohmann-Transfer</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Geschwindigkeit_2">Geschwindigkeit</h3></div>

Die Abbildung rechts zeigt das benötigte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e18b43e4225eeaafeeb25aefc4ee90bd86f004dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.063ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta v}" loading="lazy">, ein Maß für den Treibstoffbedarf und somit auch für die Energie, wenn ein Transfer zwischen einer Kreisbahn mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea214f2b31fb3869344bb9311da41c5cc38a99e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.103ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{1}}" loading="lazy"> und einer Kreisbahn mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4cbe9b0b294fdd6fadbf9a7249813f016dcbc44f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.103ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{2}}" loading="lazy"> gefahren wird.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e18b43e4225eeaafeeb25aefc4ee90bd86f004dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.063ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta v}" loading="lazy"> ist mit der Anfangsgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98d33f5d498d528bd8c10edc8ac8c34347f32b3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.182ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{1}}" loading="lazy"> normiert, damit der Vergleich allgemein ist. Vier Kurven sind dargestellt: der Treibstoffbedarf für einen Hohmann-Transfer (blau), für einen bi-elliptischen Transfer mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha ={\tfrac {r_{b}}{r_{1}}}=20+{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}">

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ={\tfrac {r_{b}}{r_{1}}}=20+{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e50922c139d4b109e63b6d1f53ee2d431319fbb2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:17.668ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha ={\tfrac {r_{b}}{r_{1}}}=20+{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}" loading="lazy"> (rot), für einen bi-elliptischen Transfer mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha ={\tfrac {r_{b}}{r_{1}}}=100+{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}">

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ={\tfrac {r_{b}}{r_{1}}}=100+{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3abe5c450b82fa7e17996d26a5d2c4a78a653134.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:18.831ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha ={\tfrac {r_{b}}{r_{1}}}=100+{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}" loading="lazy"> (cyan) und für einen bi-parabolischen Transfer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r_{b}\rightarrow \infty )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r_{b}\rightarrow \infty )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef83b8faa887d1d2d80c025d7bc90b3d51e21fff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.733ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r_{b}\rightarrow \infty )}" loading="lazy"> (grün)<a href="#cite_note-3">[3]</a>.

Man sieht, dass der Hohmann-Transfer energetisch am günstigsten ist, solange das Radienverhältnis kleiner als 11,94 ist. Ist der Radius der Zielbahn mehr als 15,58-mal so groß wie der Radius der Ausgangsbahn, so ist jeder bi-elliptische Transfer vom Treibstoffbedarf her günstiger als ein Hohmann-Transfer, solange <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{b}>r_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{b}>r_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1079ebd6062e6dbfd48399080883e344269f0dc0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.188ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r_{b}>r_{2}}" loading="lazy"> ist.

Für den Bereich zwischen 11,94 und 15,58 ist der Abstand der gemeinsamen Apoapsis der zwei Transfer-Ellipsen (Punkt 2 in den Abbildungen über den <a href="#Berechnung">bi-elliptischen Transfer</a> und den <a href="#Grenzfall_bi-parabolischer_Transfer">bi-parabolischen Transfer</a>) zur Ausgangsbahn entscheidend.

Die folgende Tabelle listet einige Fälle auf, wie groß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha ={\tfrac {r_{b}}{r_{1}}}}">

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ={\tfrac {r_{b}}{r_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/338fcc558277651b7e2fb24dc2d98ab54f42f89b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:6.995ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha ={\tfrac {r_{b}}{r_{1}}}}" loading="lazy"> (der Abstand der Apoapsis im Verhältnis zum Radius der Ausgangsbahn) mindestens sein muss, damit der bi-elliptische Transfer energetisch günstiger ist.

<caption>minimales <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha ={r_{b}}/{r_{1}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ={r_{b}}/{r_{1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9319c609b72da5c019590d819ee118d96356e5f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.838ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha ={r_{b}}/{r_{1}}}" loading="lazy"> für energetisch günstigeren bi-elliptische Transfer<a href="#cite_note-:1-2">[2]</a>

</caption>

<th>Radienverhältnis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {r_{2}}/{r_{1}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {r_{2}}/{r_{1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b84e6ac72eacdec7f68c76cc0a1f0310ad0ea9d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.368ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {r_{2}}/{r_{1}}}" loading="lazy">

</th>

<th>Minimales <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha ={r_{b}}/{r_{1}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ={r_{b}}/{r_{1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9319c609b72da5c019590d819ee118d96356e5f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.838ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha ={r_{b}}/{r_{1}}}" loading="lazy">

</th>

<th>Bemerkungen

</th></tr>

<tr>

<td>Hohmann-Transfer ist günstiger

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \infty }" loading="lazy"></td>

<td>bi-parabolischer Transfer

</td></tr>

<tr>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>größer als 15,58</td>

<td>größer als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}">

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2666f55082b5d0fcfc53035f26c73834444aec7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.409ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}" loading="lazy"></td>

<td>jeder bi-elliptische Transfer ist günstiger

</td></tr>

</tbody></table>

Dieser nicht unbedingt intuitive Zusammenhang ist durch den <a href="Oberth-Effekt" title="Oberth-Effekt">Oberth-Effekt</a> zu erklären.

Die lange Transferzeit eines bi-elliptischen Übergangs

<msqrt>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa8206e075946eaac9b11e95066ffa97f2729bb5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:22.266ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ist ein großer Nachteil dieses Transfermanövers. Im Grenzfall des bi-parabolischen Transfers wird die Zeit sogar unendlich lang.

Zum Vergleich braucht ein Hohmann-Transfer mit

<msqrt>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t=\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84fe0cc57fc6faa6f9dbbcd6e2a939d004ef1c71.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:12.65ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \Delta t=\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}" loading="lazy"></dd></dl>

weniger als die Hälfte der Zeit, weil nur eine halbe Transfer-Ellipse und nicht zwei halbe Ellipsen gefahren werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel">Beispiel</h2></div>

<caption>erforderliche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\Delta v} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\Delta v} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abff31f98cd69657b4fc1cd40bd8ee7c84d9365d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.637ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\Delta v} }" loading="lazy"> verschiedener Transfers (km/s)

</caption>

<th>

</th>

<th>Hohmann

</th>

<th>bi-elliptisch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =100}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =100}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e24dc757243196cb22b8584cdd6f12fb08832ba4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.073ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha =100}" loading="lazy">

</th>

<th>bi-parabolisch

</th></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta v_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7836e058d7d81890703c9ffb02b9df93ed642541.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.118ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta v_{1}}" loading="lazy"></td>

<td>3,226

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta v_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/479384053847acf68e643701ef79f90d587b739f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.118ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta v_{2}}" loading="lazy"></td>

<td>entfällt

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta v_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b53be24d226ff6695ca0699fc1a664fdaac143e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.118ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta v_{3}}" loading="lazy"></td>

<td>entfällt</td>

<td>0,423

</td></tr>

<tr>

<td>gesamtes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\Delta v} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\Delta v} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abff31f98cd69657b4fc1cd40bd8ee7c84d9365d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.637ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\Delta v} }" loading="lazy"></td>

<td>3,649

</td></tr>

<tr>

<td>Dauer</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \infty }" loading="lazy">

</td></tr>

</tbody></table>

Ein Beispiel angelehnt an Example 6-2 aus<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a> veranschaulicht die Transfers:

Ein Satellit, der um die Erde kreist, soll von einer kreisförmigen Startbahn mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{1}=6569\,\mathrm {km} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{1}=6569\,\mathrm {km} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c750c3b1ec29108993d4abeea3b6b38f061b5081.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.402ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r_{1}=6569\,\mathrm {km} }" loading="lazy"> auf die kreisförmige Zielbahn mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{2}=382688\,\mathrm {km} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{2}=382688\,\mathrm {km} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1001da37fd99963d42bafd7632efe03f579785d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.727ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r_{2}=382688\,\mathrm {km} }" loading="lazy"> gebracht werden. Verglichen werden der Hohmann-Transfer, der bi-elliptische Transfer und der bi-parabolische Transfer bezüglich Geschwindigkeit und Zeit.

Das Verhältnis vom Start- zum Zielradius ist etwa 58,25. Es ist also zu erwarten, dass der bi-elliptische und bi-parabolische Transfer weniger <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e18b43e4225eeaafeeb25aefc4ee90bd86f004dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.063ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta v}" loading="lazy"> als der Hohmann-Transfer benötigen. Für den bi-elliptischen Transfer muss ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{b}>r_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{b}>r_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1079ebd6062e6dbfd48399080883e344269f0dc0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.188ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r_{b}>r_{2}}" loading="lazy"> gewählt werden, für das Beispiel wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{b}=100\,r_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{b}=100\,r_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85d918fa3241f60162513f25841b45e0f00c07f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.062ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r_{b}=100\,r_{1}}" loading="lazy"> angenommen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li>A. F. B. A. Prado, Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, vol. 25, 2003, p. 122–128, <a href="https://doi.org/10.1590/S1678-58782003000200003" class="extiw external" title="doi:10.1590/S1678-58782003000200003">doi:10.1590/S1678-58782003000200003</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1678-58782003000200003">online</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-:0-1">↑ <a href="#cite_ref-:0_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-:0_1-1">b</a> <a href="#cite_ref-:0_1-2">c</a> <a href="#cite_ref-:0_1-3">d</a> <a href="#cite_ref-:0_1-4">e</a> <a href="#cite_ref-:0_1-5">f</a> David A. Vallado: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Fundamentals of Astrodynamics and Applications</cite>. Micorcosm Press, Hawthorne, CA 2013, ISBN 978-1-881883-18-0, S. 322–330 (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Bi-elliptischer+Transfer&rft.au=David+A.+Vallado&rft.btitle=Fundamentals+of+Astrodynamics+and+Applications&rft.date=2013&rft.genre=book&rft.isbn=9781881883180&rft.pages=322-330&rft.place=Hawthorne%2C+CA&rft.pub=Micorcosm+Press" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-:1-2">↑ <a href="#cite_ref-:1_2-0">a</a> <a href="#cite_ref-:1_2-1">b</a> Pedro R. Escobal: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Methods of Astrodynamics</cite>. John Wiley & Sons, New York 1968, ISBN 0-471-24528-3 (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Bi-elliptischer+Transfer&rft.au=Pedro+R.+Escobal&rft.btitle=Methods+of+Astrodynamics&rft.date=1968&rft.genre=book&rft.isbn=0471245283&rft.place=New+York&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> F. W. Gobetz, J. R. Doll: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">A Survey of Impulsive Trajectories</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">AIAA Journal</cite>. Band 7, Nr. 5, Mai 1969, S. 801–834, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2514/3.5231">10.2514/3.5231</a> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Bi-elliptischer+Transfer&rft.atitle=A+Survey+of+Impulsive+Trajectories&rft.au=F.+W.+Gobetz%2C+J.+R.+Doll&rft.date=1969-05&rft.doi=10.2514%2F3.5231&rft.genre=journal&rft.issue=5&rft.jtitle=AIAA+Journal&rft.pages=801-834&rft.volume=7" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</main>

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</body></html>